2016考研數(shù)學：如何理解可導與可微？

• 2026考研英語全程班 6班
• 26考研全科上岸規(guī)劃營「擇校▪規(guī)劃▪備考」
• 2026考研專業(yè)課復習資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

在學習了函數(shù)、極限以及函數(shù)連續(xù)性的概念之后，我們開始進入一元函數(shù)微分學模塊的學習內容。高等數(shù)學又叫微積分，可見微分學在高等數(shù)學的學習中所占的重要地位。這一大塊的內容我們按照以下四部分進行展開學習，可導與可微，導數(shù)的計算，導數(shù)的應用，以及中間穿插著學習中值定理。每接觸一個新的模塊，我們首先應該理解概念。在這里我們需要理解什么是可導什么是可微。

首先通過導數(shù)的兩個實際背景，包括幾何(切線斜率)和物理(速度或者擴展為變化率)背景去理解導數(shù)的定義。大家會發(fā)現(xiàn)，導數(shù)的本質就是極限。極限是高等數(shù)學中處理問題的一個核心思想。那么有關極限的性質就可以拿來刻畫導數(shù)性質，例如左右導數(shù)的定義，導數(shù)存在的充要條件是左右導數(shù)存在且相等。類似函數(shù)連續(xù)的定義，從某點連續(xù)擴展到區(qū)間連續(xù)，我們也可以定義函數(shù)在開區(qū)間上可導，并且有了左右導數(shù)，我們可以繼續(xù)定義函數(shù)在閉區(qū)間上可導。由此得出導函數(shù)的概念。這里需要大家注意，導函數(shù)也是一種函數(shù)，所有用來研究函數(shù)的性質和工具同樣可以研究導函數(shù)，例如對導函數(shù)求極限、研究導函數(shù)的連續(xù)性、可導性等。導函數(shù)的導數(shù)我們稱為高階導數(shù)。以上是關于對導數(shù)定義的理解。

現(xiàn)在我們學習了函數(shù)的兩個性質：連續(xù)性和可導性。那么這兩者之間有什么關系呢?大家都知道這個定理：可導必連續(xù)。也就是題目中給出函數(shù)可導的條件，就隱含著告訴我們函數(shù)連續(xù)，關于這個知識點一般考察分段函數(shù)在某點可導，求參數(shù)取值，我們通常先討論函數(shù)連續(xù)性，再討論可導性。因為通過討論連續(xù)性一般可以求出其中一個參數(shù)取值，方便后續(xù)可導性的討論。比如下面這個例題