暨南大學(xué)

暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科2022年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱適用于暨南大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)(基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制輪)碩士研究生入學(xué)考試。數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課。它的主要內(nèi)容包括極限與連續(xù)、一元函數(shù)的微分學(xué)、一元函數(shù)的積分學(xué)、無窮級(jí)數(shù)、多元函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué)、含參變量積分。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合分析解決問題能力。

一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念，掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論、基本思想和方法，具有一定的綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力，以便為以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和從事科研奠定堅(jiān)實(shí)的分析基礎(chǔ)。

二、考試內(nèi)容

1.極限與連續(xù)

(1)極限的ε-δ、ε-N定義及其證明;極限的性質(zhì)及運(yùn)算、無窮小量的概念及基本性質(zhì);

(2)函數(shù)的連續(xù)性及一致連續(xù)性概念，函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)類型，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明及其應(yīng)用;

(3)上、下極限概念，實(shí)數(shù)集完備性的基本定理及其應(yīng)用;

(4)二元函數(shù)的極限的定義及性質(zhì)，重極限與累次極限概念，二元函數(shù)的連續(xù)性概念及性質(zhì);

(5)數(shù)列極限的計(jì)算，一元與二元函數(shù)極限的計(jì)算。

2.一元函數(shù)的微分學(xué)

(1)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念及其幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系;

(2)求函數(shù)(包括復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù))的各階導(dǎo)數(shù)與微分;

(3)Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、Taylor定理及其應(yīng)用;

(4)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值和凸凹性;

(5)用洛必達(dá)法則求不定式極限。

3.一元函數(shù)的積分學(xué)

(1)不定積分的概念及不定積分的基本公式，換元積分法與分部積分法，求初等函數(shù)、有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分;

(2)定積分的概念，可積條件與可積函數(shù)類;

(3)定積分的性質(zhì)，微積分學(xué)基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法，積分第一、二中值定理及其應(yīng)用;

(4)用定積分計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體體積、變力做功和物體的質(zhì)量;

(5)反常積分的概念及性質(zhì)，兩類反常積分的比較判別法、阿貝耳判別法和狄

立克雷判別法，兩類反常積分的計(jì)算。

4.無窮級(jí)數(shù)

(1)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念及基本性質(zhì);

(2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件、比較原則、比式判別法、根式判別法與積

分判別法;

(3)一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的

性質(zhì)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝耳判別法和狄立

克雷判別法;

(4)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Weierstrass判別法、

Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法;

(5)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算;函數(shù)的冪級(jí)數(shù)

展開及冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)與求法;

(6)周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開及Fourier級(jí)數(shù)收斂定理。

5.多元函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué)

(1)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念、幾何意義與應(yīng)用，連續(xù)、可微與可偏

導(dǎo)之間的關(guān)系，多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(包括高階偏導(dǎo))與全微分的計(jì)算，方

向?qū)��?shù)與梯度的定義與計(jì)算;

(2)多元函數(shù)的無條件極值、中值定理與泰勒公式;

(3)隱函數(shù)存在定理及求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù);

(4)曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法;

(5)重積分、曲線積分和曲面積分的概念與計(jì)算;

(6)格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其應(yīng)用。

6.含參變量積分

(1)含參變量正常積分的概念及性質(zhì);

(2)含參變量反常積分一致收斂的概念及其判別法，一致收斂的含參變量反常積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。

三、考試題型

填空題、單項(xiàng)選擇題、計(jì)算題、證明題。

四、考試方法和考試時(shí)間

采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

五、主要參考教材

數(shù)學(xué)分析：《數(shù)學(xué)分析第五版》，上、下冊(cè)，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編，高等教育出版社，2019