陜西師范大學(xué)

從陜西師范大學(xué)研究生招生信息網(wǎng)獲悉，2024年陜西師范大學(xué)碩士研究生招生考試大綱及參考書目已發(fā)布，內(nèi)容如下：

說明：我校研究生招生辦公室不提供歷年試題，不出售考試科目參考書，也不辦理代購業(yè)務(wù)。部分自命題考試科目提供考試大綱。

陜西師范大學(xué)碩士研究生招生考試

“826-高等代數(shù)”考試大綱

本《高等代數(shù)》考試大綱適用于陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)碩士研究生招生考試. 高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生基礎(chǔ)課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)課.它的主要內(nèi)容包括多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、矩陣，歐氏空間等. 要求考生熟悉這門課程中的基本概念、熟練掌握基本理論、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力以及綜合分析問題和解決問題的能力.

一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握高等代數(shù)的基本思想和方法. 要求考生具有對高等代數(shù)這門課程的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力.

二、考試方法和考試時間

高等代數(shù)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘.

考試內(nèi)容

多項(xiàng)式

數(shù)域及其性質(zhì).

一元多項(xiàng)式及其運(yùn)算.

帶余除法；整除定義.

最大公因式；輾轉(zhuǎn)相除法；互素.

不可約多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)；因式分解定理.

k-重因式；重因式的判別和求法.

多項(xiàng)式函數(shù)與根；多項(xiàng)式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

代數(shù)基本定理；復(fù)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解；實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解.

本原多項(xiàng)式；Gauss引理.

10. 在整數(shù)集上的多項(xiàng)式的分解問題；艾森施坦因判別法；有理數(shù)域上多項(xiàng)式的有

理根.

行列式

排列及其性質(zhì).

級行列式定義.

行列式的性質(zhì).

行列式的計(jì)算方法.

行列式的一行（列）展開.

非齊次與齊次線性方程組；克蘭姆法則及有關(guān)定理.

k 級子式；k 級子式的代數(shù)余子式；拉普拉斯(Laplace)定理；行列式乘法法則.

線性方程組

高斯消元法；消元法的矩陣表示；齊次線性方程組.

n維向量空間.

線性相關(guān)；線性無關(guān)；向量組的秩.

矩陣的秩；矩陣的秩的有關(guān)結(jié)論；矩陣秩的計(jì)算.

線性方程組有解的判定定理.

齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)；一般線性方程組解的結(jié)構(gòu).

矩陣

矩陣的運(yùn)算.

矩陣乘積的行列式；非退化矩陣；矩陣乘積的秩.

可逆矩陣的判定及求法；逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律.

分塊矩陣的運(yùn)算.

初等矩陣；等價矩陣；用初等變換求矩陣的逆.

矩陣分塊乘法的初等變換.

二次型

二次型的矩陣表示；非退化線性替換；矩陣的合同.

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；配方法.

復(fù)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形；實(shí)數(shù)域上的二次型的規(guī)范形.

正定二次型及其判定.

線性空間

線性空間及其性質(zhì).

維數(shù)；基與坐標(biāo).

過渡矩陣及其性質(zhì)；坐標(biāo)變換公式.

線性子空間及其判定；生成空間及其性質(zhì)；基的擴(kuò)充定理.

子空間的交；子空間的和；維數(shù)公式；子空間的交與和的有關(guān)性質(zhì).

直和及其判定；子空間的補(bǔ)；多個子空間的直和.

線性變換

線性變換的簡單性質(zhì)；有關(guān)例子.

線性變換的運(yùn)算；線性變換的逆；線性變換的多項(xiàng)式.

線性變換的矩陣；原向量與像向量坐標(biāo)之間關(guān)系.

特征值與特征向量；特征子空間；特征多項(xiàng)式

線性變換可對角化的概念；可對角化的條件；可對角化的一般方法.

值域與核的有關(guān)性質(zhì).

不變子空間；線性空間的直和分解.

最小多項(xiàng)式的基本性質(zhì)；幾類矩陣的最小多項(xiàng)式.

-矩陣

λ－矩陣及其性質(zhì)；λ－矩陣的秩；可逆λ－矩陣.

λ－矩陣的初等變換；λ－矩陣的等價；標(biāo)準(zhǔn)形及其求法.

行列式因子；不變因子及其求法.

矩陣相似的條件；矩陣相似的幾個判定方法.

初等因子與不變因子的區(qū)別與聯(lián)系；初等因子的求法.

若當(dāng)塊的初等因子；若當(dāng)形矩陣的初等因子.

歐幾里得空間

內(nèi)積；歐氏空間；內(nèi)積的基本性質(zhì)；向量的夾角；度量矩陣及其性質(zhì).

正交向量組；標(biāo)準(zhǔn)正交基及其性質(zhì)；標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法；正交矩陣.

歐氏空間的同構(gòu)；同構(gòu)的基本性質(zhì)；同構(gòu)的判定方法.

正交變換及其刻畫；正交變換的性質(zhì)；正交變換的分類.

正交子空間及其性質(zhì)；正交補(bǔ).

實(shí)對稱矩陣及其性質(zhì)；實(shí)對稱矩陣正交對角化.

四、掌握重點(diǎn)

多項(xiàng)式的整除理論.

最大公因式；輾轉(zhuǎn)相除法；互素.

一般數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解理論.

多項(xiàng)式函數(shù).

復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域以及有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解.

行列式定義及計(jì)算.

矩陣的運(yùn)算及其理論.

可逆矩陣及其應(yīng)用.

分塊矩陣運(yùn)算及其應(yīng)用.

矩陣的秩及其應(yīng)用.

（十一）   初等矩陣的概念及其性質(zhì).

（十二）   二次型的標(biāo)準(zhǔn)形理論.

（十三）   正定二次型及其應(yīng)用.

（十四）   線性空間的概念及性質(zhì).

（十五）   子空間的概念及性質(zhì).

（十六）   子空間的運(yùn)算及其性質(zhì).

（十七）   線性變換及其運(yùn)算.

（十八）   線性變換的特征值理論及應(yīng)用.

（十九）   線性變換的不變子空間及其應(yīng)用.

（二十）   矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算及其應(yīng)用.

（二十一） 歐氏空間的概念及其性質(zhì).

（二十二） 正交變換及其性質(zhì).

（二十三） 對稱變換及其性質(zhì).

（二十四） 實(shí)對稱矩陣及其性質(zhì).

五、參考書目

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編. 高等代數(shù)（第四版），高等教育出版社，2013.

[2] 李志慧，李永明. 高等代數(shù)中的典型問題與方法（第二版），科學(xué)出版社，2016.