長(zhǎng)沙理工大學(xué)

科目代碼：F1001 科目名稱：實(shí)變函數(shù)

一、考試要求

主要考察考生是否掌握了實(shí)變函數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法，包括集合的勢(shì)與對(duì)等、Borel集類、Lebesgue測(cè)度、可測(cè)函數(shù)、可測(cè)函數(shù)的收斂、Lebesgue積分等的基本概念;集合序列的上下限集、可測(cè)集經(jīng)交并差運(yùn)算、Lebesgue積分等的計(jì)算方法，Cantor 集的構(gòu)造、可測(cè)函數(shù)“幾乎處處收斂”與“測(cè)度收斂”以及“近一致收斂”之間的關(guān)系，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測(cè)函數(shù)積分的性質(zhì)。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系，Lebesgue積分的極限定理等;以及是否具備運(yùn)用基本理論和基本方法，分析解決問題的能力。

二、考試內(nèi)容

1、集合的基本運(yùn)算;集合序列的上、下限集。集合的勢(shì)的定義，勢(shì)的性質(zhì)，勢(shì)的比較。常見集合的勢(shì)及其基本性質(zhì);

2、n維空間中集合的內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、開集、閉集等概念，明確開集的構(gòu)造.理解完備集的概念,特別要掌握Cantor 集;

3、外測(cè)度概念，外測(cè)度與體積的關(guān)系，可測(cè)集的定義及其性質(zhì)，包括可測(cè)集經(jīng)交、并、差運(yùn)算后的可測(cè)性，可數(shù)個(gè)可測(cè)集的交集或并集的可測(cè)性、可數(shù)可加性以及可測(cè)集序列的極限之可測(cè)性。Borel集類;Lebesgue可測(cè)集的結(jié)構(gòu);

4、可測(cè)函數(shù)的概念,可測(cè)函數(shù)的特征性質(zhì),簡(jiǎn)單函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。掌握“幾乎處處收斂”與“測(cè)度收斂”以及“近一致收斂”的概念和它們之間的關(guān)系;

5、一般可測(cè)函數(shù)積分的定義，Lebesgue積分與廣義Riemann積分的異同，一般可測(cè)函數(shù)積分的性質(zhì)。Riemann 可積性與Lebesgue可積性之間的關(guān)系。Lebesgue積分的極限定理，包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收斂定理及其應(yīng)用，Riemann可積的充要條件。掌握L 積分的概念,理解L 積分和R 積分的關(guān)系.掌握L 積分的性質(zhì),對(duì)有關(guān)L 積分的三個(gè)極限定理及其應(yīng)用。

三、題型

試卷滿分為100分，其中：判斷題占30%，計(jì)算分析題占20%，證明題占50%。

四、參考教材

1.《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(第三版).程其襄等.高等教育出版社，2010。

2.《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》(第三版).鄭維行、王聲望主編.高等教育出版社，2005。