山東理工大學(xué)

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生招生考試考試大綱

科目代碼：856 科目名稱：高等代數(shù)

考試范圍：

一、多項(xiàng)式

熟練掌握帶余除法、轉(zhuǎn)輾相除法以及多項(xiàng)式的最大公因式求解;熟練掌握多項(xiàng)式整除、互素的性質(zhì)及其推導(dǎo);熟練掌握重因式的判定、余數(shù)定理的應(yīng)用;熟練掌握求解有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的方法;熟練掌握特定整系數(shù)多項(xiàng)式不可約性的常用判定方法;了解數(shù)域上多項(xiàng)式的定義、運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律;了解多項(xiàng)式的因式分解定理、標(biāo)準(zhǔn)分解式、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解、多項(xiàng)式的根與性質(zhì)。

二、行列式

熟練掌握有規(guī)律的高階行列式的計(jì)算;能夠熟練應(yīng)用行列式的基本性質(zhì)、代數(shù)余子式及其性質(zhì)解決相關(guān)的計(jì)算問題;熟練掌握拉普拉斯(Laplace)定理在行列式計(jì)算中的應(yīng)用;能夠運(yùn)用克拉默法則求解特定的線性方程組;了解排列、行列式的定義、行列式的基本性質(zhì)的證明。

三、線性方程組

熟練掌握具體向量組的秩和極大線性無關(guān)組的求解方法;熟練掌握含參數(shù)向量組線性關(guān)系的討論與求解的方法;熟練掌握含參數(shù)線性方程組解的討論與求解的方法;熟練掌握線性方程組解向量的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用;熟練掌握與向量組線性相關(guān)性有關(guān)基本問題的證明方法;理解線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義與性質(zhì);了解矩陣、矩陣的秩、矩陣的秩與其子式的關(guān)系。

四、矩陣

熟練掌握低階、常見類型矩陣方程的求解;熟練掌握低階矩陣、常見的特殊類型矩陣和分塊矩陣可逆性的判定和求逆矩陣的方法;熟練掌握可逆矩陣、伴隨矩陣、有關(guān)矩陣秩的常見等式和不等式的應(yīng)用和證明方法;了解矩陣的定義、運(yùn)算、運(yùn)算律;了解可逆矩陣、矩陣的逆矩陣、伴隨矩陣的定義;了解初等矩陣、初等變換、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形;了解分塊矩陣的意義及其運(yùn)算性質(zhì)。

五、二次型

熟練掌握含參數(shù)實(shí)二次型定性問題(正定、負(fù)定、半正定、不定)的解法;熟練掌握正定二次型(正定矩陣)有關(guān)基本性質(zhì)和常見結(jié)論的證明方法;熟練掌握合同變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法;了解二次型、二次型的矩陣、線性替換的概念;了解復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性，正負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差的定義。

六、線性空間

熟練掌握常見線性空間中子空間的判定、維數(shù)和基的求解方法;熟練掌握向量組生成子空間的和與交的基、維數(shù)的求解方法;熟練掌握子空間的維數(shù)公式及初步應(yīng)用;熟練掌握兩個(gè)子空間直和的充要條件、判定和基本證明問題的解法;掌握與向量坐標(biāo)、基變換和坐標(biāo)變換有關(guān)的基本計(jì)算問題的解法;了解線性空間的定義和性質(zhì);了解線性空間的基、維數(shù)、向量坐標(biāo)的定義與性質(zhì);了解子空間的交與和的定義、性質(zhì);了解線性空間同構(gòu)定義和性質(zhì)。

七、線性變換和矩陣相似理論

熟練掌握方陣的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的計(jì)算方法;熟練掌握方陣對(duì)角化的判定條件和涉及具體方陣對(duì)角化的計(jì)算方法;熟練掌握運(yùn)用矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形或者哈密頓-凱萊(Hamilton-Cayley)定理計(jì)算矩陣的乘方(多項(xiàng)式)的常用方法;熟練掌握線性變換特征值、特征向量、特征子空間的求解;熟練掌握同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系;熟練掌握線性變換在某一組基下的矩陣是對(duì)角形的充要條件;熟練掌握特殊類型線性變換在某一組基下的矩陣是對(duì)角形矩陣的證明方法;熟練掌握與線性變換的值域、核、秩、零度和不變子空間有關(guān)的基本證明問題的解法。了解線性變換的定義、性質(zhì)、運(yùn)算及運(yùn)算律;了解線性變換的值域、核、秩、零度的概念等有關(guān)理論;了解空間分解為線性變換的不變子空間的直和與線性變換的矩陣之間的關(guān)系。

八、歐幾里得空間

熟練掌握用正交線性替換化實(shí)二次型為對(duì)角形的計(jì)算方法(以及對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣求解正交矩陣，使得為對(duì)角形矩陣);熟練掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量、特征子空間、合同相似標(biāo)準(zhǔn)形的有關(guān)理論及其基本應(yīng)用，如矩陣分解、正定性的判定與證明等問題;熟練掌握歐式空間中向量的長度、夾角、以及將給定的線性無關(guān)的向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的計(jì)算方法(施密特(Schmidt)正交化方法);熟練掌握正交矩陣的基本性質(zhì)和判定、證明方法;熟練掌握歐氏空間中正交變換的定義、性質(zhì)、充要條件，以及常見類型變化正交性的判定和證明方法。了解歐式空間的定義、性質(zhì)、度量矩陣等概念和理論;了解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念和性質(zhì);了解歐式空間子空間的正交性、正交補(bǔ)的概念及性質(zhì)。

參考書目：

《高等代數(shù)》第四版，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社。