海南師范大學(xué)

從海南師范大學(xué)研究生院獲悉，2022年海南師范大學(xué)（復(fù)試）實(shí)變函數(shù)考研大綱及參考書目?jī)?nèi)容如下

海南師范大學(xué)全國(guó)碩士研究生招生自命題考試大綱

考試科目代碼：[]              考試科目名稱：實(shí)變函數(shù)

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一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

（一）試卷成績(jī)及考試時(shí)間

本試卷滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘。

（二）答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

（三）試卷結(jié)構(gòu)

名詞解釋題；簡(jiǎn)答題；計(jì)算題；證明題等

二、考試目標(biāo)：

1.掌握實(shí)變函數(shù)的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)。

2.理解實(shí)變函數(shù)的基本理論和基本方法。

3.運(yùn)用實(shí)變函數(shù)的基本理論和方法來(lái)證明和解決相關(guān)問(wèn)題。

三、考試范圍：

第一章 集合

集合的描述與表示，子集，集合的相等;集合的并、交、差、補(bǔ)運(yùn)算及其性質(zhì)，德·摩根公式：上限集、下限集及其性質(zhì)。映射、單射、滿射、雙射，逆映射及其性質(zhì)；對(duì)等及其性質(zhì)；基數(shù)與基數(shù)的比較，伯恩斯坦定理�？蓴�(shù)集的定義及等價(jià)條件，可列集及其性質(zhì)，可數(shù)集的判斷證明。不可數(shù)集的存在性, 連續(xù)基數(shù)及其性質(zhì)，連續(xù)基數(shù)的判斷證明，基數(shù)無(wú)最大者。

第二章  點(diǎn)集

度量空間概念、鄰域及其性質(zhì)、收斂點(diǎn)列、點(diǎn)集的距離與直徑、區(qū)間概念。內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)及孤立點(diǎn)，聚點(diǎn)及其等價(jià)條件，邊界，內(nèi)核、導(dǎo)集與閉包概念及其簡(jiǎn)單性質(zhì)。Bolzano-Weierstrass定理，開集與閉集的及其運(yùn)算性質(zhì)，海涅-波雷爾有限覆蓋定理，緊集、自密集與完備集。直線上開集、閉集、完備集的構(gòu)造。平面上開集的構(gòu)造，康托（Cantor）集的構(gòu)造與性質(zhì)。

第三章、測(cè)度論

教學(xué)內(nèi)容: 外測(cè)度及其性質(zhì)，可測(cè)集的定義，可測(cè)集的運(yùn)算性質(zhì)，單調(diào)可測(cè)集列極限的測(cè)度。區(qū)間、開集、閉集皆可測(cè)、G6型集，F(xiàn)s型集，可測(cè)集同開集、閉集、 G6 型集、Fs型集之間的關(guān)系。

第四章、可測(cè)函數(shù)

點(diǎn)集上的函數(shù)：廣義實(shí)數(shù)系 R=R∪(±∞)的運(yùn)算�？蓽y(cè)函數(shù)的定義及等價(jià)條件，連續(xù)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)皆可測(cè)，可測(cè)函數(shù)關(guān)于代數(shù)運(yùn)算和極限運(yùn)算的封閉性，可測(cè)函數(shù)同簡(jiǎn)單函數(shù)列的關(guān)系，“幾乎處處”的概念�？蓽y(cè)函數(shù)列的收斂性, 葉果洛夫定理。魯金定理（兩種形式），依測(cè)度收斂，依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂互不包含的例子，勒貝格定理，黎斯定理，依測(cè)度收斂極限的唯一性。

第五章、勒貝格積分

測(cè)度有限集合上有界函數(shù)的勒貝格大和與小和，上積分與下積分，有界勒貝格可積函數(shù)，有界可積的充要條件是有界可測(cè)，有界勒貝格可積函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系。有界函數(shù)積分的積分區(qū)域與被積函數(shù)的有限可加性，積分的線性性質(zhì)。積分的單調(diào)性與絕對(duì)可積性，非負(fù)函數(shù)積分存在與可積的定義，一般函數(shù)積分存在與可積定義，勒貝格積分的性質(zhì)。勒貝格控制收斂定理，列維漸升函數(shù)列積分定理，勒貝格逐項(xiàng)積分定理，可積函數(shù)積分區(qū)域可列可加性，法都引理，廣義黎曼可積與勒貝格可積的關(guān)系。直積、截面的概念及性質(zhì)，勒貝格積分的幾何意義，富比尼定理。

四、主要參考書目

1、《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》（第三四版）程其襄 張奠宙 魏國(guó)強(qiáng) 胡善文 王漱石 編，高等教育出版社 2019年6月 第4版

2、《實(shí)變函數(shù)論》（第二版）江澤堅(jiān) 吳智泉編  高等教育出版社 1994年6月第2版；

原文鏈接 http://yjsc.hainnu.edu.cn/html/2022/gongzuoxinxi_0708/9348.html