海南師范大學

微分中值定理及其應用

極值概念；Fermat定理和微分中值定理(Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理)；泰勒公式， L'Hospital法則；利用導數(shù)研究函數(shù)的各種性質(單調性與極值，函數(shù)的凸性)； 函數(shù)極值的判別法；利用導數(shù)求函數(shù)的漸近線并且繪制函數(shù)的圖像。

（五）實數(shù)的完備性

區(qū)間套定理；聚點定理；有限覆蓋定理。

（六）不定積分

原函數(shù)和不定積分的概念；不定積分的基本公式；換元積分法，分部積分法；有理函數(shù)的積分；三角函數(shù)有理式的積分；某些無理函數(shù)的積分。

（七）定積分

定積分概念及其幾何意義；定積分的基本性質；函數(shù)的一致連續(xù)性，康托定理； Newton-Leibniz公式；定積分換元積分法和分部積分法。

（八）定積分的應用

微元法；定積分在幾何上的應用（平面圖形的面積，已知截面積的立體體積，旋轉體的體積，平面上的光滑曲線的弧長，曲線曲率）；定積分在物理上的應用（總壓力問題，變力作功問題）。

（九）廣義積分

無窮積分和瑕積分的概念及其斂散性（包括絕對收斂和條件收斂），無窮積分和瑕積分的性質，Cauchy收斂準則，比較判別法，積分第二中值定理，Abel阿貝爾判別法和Dirichlet判別法。

（十）數(shù)項級數(shù)

數(shù)項級數(shù)的收斂和發(fā)散，級數(shù)收斂的必要條件，收斂級數(shù)的基本性質，正項級數(shù)收斂的判別法(比較判別法、比值判別法、根式判別法、拉阿比判別法、積分判別法) ；交錯級數(shù)和Leibniz判別法，絕對收斂與條件收斂，柯西收斂原理，Abel變換以及關于一般數(shù)項級數(shù)的Abel阿貝爾判別法和Dirichlet判別法,級數(shù)的重排問題及乘積問題。

（十一） 函數(shù)項級數(shù)

函數(shù)列一致收斂性概念及其幾何意義，函數(shù)列一致收斂性的判別法，一致收斂函數(shù)列的極限函數(shù)的分析性質(連續(xù)性、可積性、可微性)；函數(shù)項級數(shù)一致收斂性概念，一致收斂的Cauchy收斂準則，函數(shù)項級數(shù)一致收斂的必要條件，函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別法 (M判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法)，一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(連續(xù)性、可積性、可微性)。

（十二） 冪級數(shù)

冪級數(shù)的收斂域和收斂半徑，Abel第一定理和第二定理，冪級數(shù)和函數(shù)的性質(連續(xù)性、可積性、可微性)，函數(shù)的冪級數(shù)展開。

（十三）傅里葉級數(shù)

三角函數(shù)系，三角級數(shù)的概念，以2p為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)，F(xiàn)ourier級數(shù)的收斂定理，函數(shù)的Fourier級數(shù)展開法。

（十四） 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

平面點集的有關概念(區(qū)域、距離、聚點、開集和閉集等)，二維空間的基本定理(矩形套定理、致密性定理、Cauchy收斂原理、有限覆蓋定理)，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性，多元函數(shù)的累次極限，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(有界性、最值性、介值性、一致連續(xù)性)。

（十五）偏導數(shù)與全微分

偏導數(shù)的概念，全微分的概念，偏導數(shù)與微分的關系；多元復合函數(shù)的微分法，多元函數(shù)一階微分形式的不變性，高階偏導數(shù)；方向導數(shù)的概念及求法，多元函數(shù)的Taylor公式。

（十六）隱函數(shù)存在定理

單個方程的隱函數(shù)存在定理，方程組的隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組存在定理。

（十七）極值和條件極值

多元函數(shù)極值（條件極值與無條件極值）概念，穩(wěn)定點概念，多元函數(shù)無條件極值的必要條件和充分條件，求多元函數(shù)無 條件極值的Lagrange乘數(shù)法。

（十八）含參變量的積分

含參變量的正常積分概念，含參變量的正常積分的分析性質（連續(xù)性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理），含參變量的正常積分的計算；含參變量的廣義積分的一致收斂概念，含參變量的廣義積分的一致收斂的判別法（Cauchy收斂原理、Weierstrass判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法及Dini定理）；一致收斂積分的分析性質（連續(xù)性定理、積分次序交換定理與積分號下求導定理）；Euler積分：Beta函數(shù)和Gamma函數(shù)的定義、性質、遞推公式及二者之間的關系。

（十九） 重積分

重積分的概念及其基本性質，化重積分為累次積分的計算方法；重積分的變量代換，極坐標變換，柱坐標變換，球坐標變換；曲面面積的計算，重積分在物理中的應用（質心，轉動慣量等）。

（二十）曲線積分與曲面積分

第一型曲線積分的概念，第一型曲線積分的性質（線性性與路徑可加性），第一型曲線積分的計算公式及其應用；第一型曲面積分的概念、計算及應用。第二型曲線積分的概念及性質（方向性、線性性與路徑可加性），第二型曲線積分的計算公式及其應用；理解曲面的側的相關概念，第二型曲面積分的概念及性質（方向性、線性性與曲面可加性），第二型曲面積分的計算及應用。

（二十一） 各種積分間的聯(lián)系

Green公式，用Green公式計算曲線積分及求區(qū)域的面積，曲線積分與路徑無關的條件及其應用；Gauss公式及其應用，Stokes公式及其應用。

四、主要參考書目

1.《數(shù)學分析》（上、下），華東師大數(shù)學系編，高等教育出版社2010。

原文鏈接 http://yjsc.hainnu.edu.cn/html/2022/gongzuoxinxi_0708/9348.html