國家海洋局第三海洋研究所

自然資源部第三海洋研究所碩士研究生入學(xué)考試

《高等數(shù)學(xué)(甲)》考試大綱

本大綱適用于自然資源部第三海洋研究所物理海洋學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。高等數(shù)學(xué)是物理海洋學(xué)科專業(yè)的基礎(chǔ)課程，主要目的是考查學(xué)生的高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論、基本方法和常用的運(yùn)算技能，其主要內(nèi)容包括函數(shù)、極限、連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，一元函數(shù)積分學(xué)，一元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)，無窮級數(shù)、微分方程，和線性代數(shù)等。同時(shí)測試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，考查掌握高等數(shù)學(xué)的基本思想和方法，包括對高等數(shù)學(xué)各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力。

一、考試內(nèi)容及要求

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

理解函數(shù)概念，掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)與圖形。了解極限的定義，掌握極限的四則運(yùn)算法則。理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理和中值定理)并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線和法線方程。了解導(dǎo)數(shù)的物理意義。理解函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系。掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本的求導(dǎo)公式。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。理解羅爾定理、拉格朗日中值定理。掌握用洛必達(dá)法則求未定式的極限的方法。掌握用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的增減性及求函數(shù)的極值、最大值和最小值的方法。會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)，會(huì)描繪較簡單的函數(shù)的圖形。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

理解原函數(shù)、不定積分、定積分概念，理解積分中值定理。掌握不定積分和定積分換元法和分部積分法，會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。理解積分上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理，熟練掌握牛頓-萊布尼茲公式。掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量(如面積、體積)的方法。

四、多元函數(shù)微分學(xué)

理解多元函數(shù)概念，了解二元函數(shù)極限與連續(xù)概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。理解偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)��?shù)、梯度和全微分概念并掌握它們的計(jì)算方法。了解全微分存在的必要和充分條件。掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，了解曲線的切線及曲面的切平面與法線，會(huì)求函數(shù)的極值，會(huì)解決簡單的最值問題。

五、多元函數(shù)積分學(xué)

理解二重積分的概念并掌握其計(jì)算方法(直角坐標(biāo)與極坐標(biāo))，并會(huì)用二重積分來計(jì)算一些幾何與物理量(如面積、體積、弧長、質(zhì)量、重心)。

六、無窮級數(shù)與微分方程

理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。掌握基本初等函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的冪級數(shù)展開式。了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。掌握變量可分離方程及一階線性微分方程的解法，了解齊次方程的解法。了解線性微分方程解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)定理。

七、線性代數(shù)

理解行列式的性質(zhì)與計(jì)算。理解矩陣的概念，掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣特征值和特征向量。會(huì)用線性方程組的克拉默(Cramer)法則，掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系和通解的求法。理解非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。會(huì)用初等行變換求解線性方程組。會(huì)將矩陣化為相似對角矩陣，會(huì)用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

主要參考書目：

1、《高等數(shù)學(xué)》(上、下冊).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編.北京：高等教育出版社, 第五版，2002。(為主要參考書，也可使用其后任一版本)

2、《線性代數(shù)》.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.北京：高等教育出版社, 第四版，2003.(也可使用其后任一版本)