北京林業(yè)大學(xué)

812《高等代數(shù)》考試大綱

一、大綱綜述

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)系本科學(xué)生的最基本課程之一，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生的重要基礎(chǔ)課程。為幫助考生明確考試范圍和有關(guān)要求，特制訂本考試大綱。

本考試大綱主要根據(jù)北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科《高等代數(shù)》教學(xué)大綱編制而成，適用于報(bào)考北京林業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)(基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué))碩士學(xué)位研究生的考生。

二、考試內(nèi)容

1、多項(xiàng)式

(1)多項(xiàng)式及其運(yùn)算

(2)整除性理論

(3)最大公因式

(4)因式分解定理

(5)重因式

(6)復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解

(7)有理系數(shù)多項(xiàng)式

2、行列式

(1)n階行列式的定義

(2)行列式的性質(zhì)

(3)列式按行(列)展開公式

(4)行列式的計(jì)算

(5)矩陣的初等變換，階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)階梯形矩陣

(6)克萊姆法則

3、線性方程組

(1)線性方程組的初等變換

(2)n維向量空間

(3)線性相關(guān)性

(4)向量組的極大線性無關(guān)組和秩，矩陣的秩

(5)線性方程組有解的判別定理與解的結(jié)構(gòu)

4、矩陣

(1)矩陣的運(yùn)算

(2)矩陣的分塊

(3)矩陣的逆

(4)正交矩陣

(5)等價(jià)矩陣

(6)初等矩陣與初等交換的關(guān)系

5、二次型

(1)二次型及其矩陣表示

(2)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

(3)復(fù)二次型和實(shí)二次型的規(guī)范形

(4)正定二次型，其它有定二次型

6、線性空間

(1)集合、映射

(2)線性空間的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)

(3)維數(shù)、基與坐標(biāo)

(4)基變換與坐標(biāo)變換

(5)線性子空間

(6)線性空間的同構(gòu)

7、線性變換

(1)線性變換的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)

(2)線性變換的運(yùn)算

(3)線性變換在給定基下的矩陣，矩陣的相似

(4)線性變換的特征值與特征向量

(5)矩陣的對(duì)角化

(6)不變子空間

(7)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

8、歐氏空間

(1)歐式空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)

(2)度量矩陣、施密特正交化過程、標(biāo)準(zhǔn)正交基

(3)子空間的正交補(bǔ)

(4)歐氏空間的同構(gòu)

(5)正交變換、對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣

(6)最小二乘法

9、雙線性函數(shù)

(1)雙線性函數(shù)、對(duì)偶空間

(2)線性空間上的二次齊次函數(shù)

三、考試要求

1、多項(xiàng)式

理解數(shù)域上一元多項(xiàng)式的概念、多項(xiàng)式整除的概念和性質(zhì)、最大公因式的概念和性質(zhì)。掌握多項(xiàng)式的加法和乘法，會(huì)做帶余除法，會(huì)求最大公因式;了解多項(xiàng)式互素、不可約多項(xiàng)式、多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)及重因式分解的概念。理解因式分解唯一性定理，會(huì)判別重因式;了解多項(xiàng)式函數(shù)和多項(xiàng)式根的概念，會(huì)求有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根。

2、行列式

理解n階行列式的概念與性質(zhì)，掌握矩陣的初等變換;掌握行列式的計(jì)算，會(huì)運(yùn)用行列式的性質(zhì)，通過降階法和消去法及其綜合使用去計(jì)算行列式;熟悉克萊姆法則，會(huì)運(yùn)用它解線性方程組。

3、線性方程組

理解消元法和矩陣初等變換的關(guān)系，掌握用矩陣初等變換解線性方程組的方法;理解線性相關(guān)、線性無關(guān)、線性表出的概念及其與線性方程組的關(guān)系，會(huì)判別向量組是否線形相關(guān);理解向量組的秩和極大線性無關(guān)的概念，并會(huì)計(jì)算;理解矩陣的秩的概念，熟悉用初等變換求矩陣的秩和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的方法;熟悉線性方程組有解判別定理及其應(yīng)用。

4、矩陣

理解矩陣可逆的概念，掌握矩陣可逆的判別，了解初等矩陣與初等變換的關(guān)系。知道對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、正交矩陣的概念;掌握矩陣的加法、乘法、數(shù)量乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算。掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會(huì)做矩陣的分塊運(yùn)算。

5、二次型

理解二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念，二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。了解合同的概念及其性質(zhì);掌握用初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法;了解正定二次型的概念，會(huì)判別正定性，知道其它有定二次型的概念。

6、線性空間

理解集合、映射、單射、滿射的概念和性質(zhì);理解線性空間的概念，理解空間中基與維數(shù)的概念，理解基組在線性空間理論中的重要作用。掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式及其應(yīng)用;理解子空間的概念，熟悉子空間判別方法。了解子空間的交與和、子空間的直和的概念，熟悉子空間的和是直和的幾個(gè)判別定理。熟悉維數(shù)公式;了解線性空間同構(gòu)的概念，了解數(shù)域P上任一n維線性空間與Pn同構(gòu)的定理。知道同一數(shù)域上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充要條件。

7、線性變換

理解線性變換的概念，理解線性變換在給定基下矩陣的概念，理解矩陣的相似、特征值與特征向量的概念，理解線性變換的對(duì)角化與矩陣的對(duì)角化的意義及其之間的關(guān)系，了解線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系;了解特征多項(xiàng)式的概念及哈密頓-凱萊定理，了解線性變換的值域與核的概念，了解不變子空間的概念，知道根子空間的概念，知道最小多項(xiàng)式及其性質(zhì)，知道若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形;掌握線性變換的矩陣表示及其對(duì)角化，熟悉同一線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系及其計(jì)算方法。

8、歐氏空間

理解歐氏空間、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換與正交矩陣的關(guān)系。了解度量矩陣、向量的長(zhǎng)度與夾角的概念。了解歐氏空間同構(gòu)的概念和充要條件;掌握求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法;理解對(duì)稱變換及其充要條件，理解對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣的關(guān)系，掌握求實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似標(biāo)準(zhǔn)形的方法。了解子空間正交補(bǔ)的概念，知道最小二乘法。

9、雙線性函數(shù)

掌握線性函數(shù)、對(duì)偶空間、對(duì)偶基和雙重對(duì)偶空間的概念;理解雙線性函數(shù)及其度量矩陣的定義;理解對(duì)稱雙線性函數(shù)的概念，知道對(duì)稱雙線性函數(shù)的度量矩陣的對(duì)角(分塊對(duì)角)形式。掌握二次函數(shù)的概念。

四、試題結(jié)構(gòu)

1、填空題或選擇題(約占50分)

2、解答題(約占100分)

五、考試方式及時(shí)間

考試方式為閉卷、筆試，時(shí)間為3小時(shí)，滿分為150分。

六、主要參考資料

《高等代數(shù)》(第五版)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，王萼芳、石生明修訂，高等教育出版社，2019。