北京科技大學(xué)

《高等代數(shù)I》考試大綱

一、 考試性質(zhì)與范圍

高等代數(shù)是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，主要研究線性空間的理論，也兼顧一部分多項(xiàng)式和代數(shù)基本知識(shí)，考試內(nèi)容主要包括矩陣、行列式和線性空間等相關(guān)理論。要求學(xué)生對(duì)相關(guān)的概念把握清楚，在此基礎(chǔ)上展開對(duì)相關(guān)理論和問題的分析處理。

二、測(cè)試考生對(duì)于高等代數(shù)相關(guān)基本概念、基礎(chǔ)理論的掌握和運(yùn)用能力。

三、考試方式與分值

1. 試卷滿分為150分，考試時(shí)間180分鐘。

2. 答題方式為閉卷、筆試。不允許使用計(jì)算器。

四.考試內(nèi)容

1.集合及運(yùn)算，等價(jià)關(guān)系，映射、數(shù)域;

2. 多項(xiàng)式

帶余除法，整除性，最大公因式的定義、性質(zhì)、算法，多項(xiàng)式的唯一分解定理，重因式及其判斷方法、不可約多項(xiàng)式及性質(zhì)，余式定理及其應(yīng)用，代數(shù)學(xué)基本定理，復(fù)系數(shù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在相應(yīng)數(shù)域中的分解形式，根與系數(shù)的關(guān)系定理，本原多項(xiàng)式，Gauss引理，Eisenstein判別法.

3.矩陣

矩陣的基本運(yùn)算，矩陣的初等變換，矩陣的相抵和標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣的逆及其計(jì)算，矩陣的分塊運(yùn)算，矩陣的秩和秩的基本性質(zhì).

4. 線性空間

線性空間的概念及重要的線性空間實(shí)例，向量的線性相關(guān)、線性無關(guān)，基、維數(shù)的概念、坐標(biāo)變換和過渡矩陣，線性子空間的條件，子空間的和與交和直和的等價(jià)條件，線性空間的同構(gòu)

5.線性變換

線性映射的定義及矩陣表示，線性映射的像與核，基和維數(shù)的關(guān)系，線性變換的定義及矩陣表示，線性變換的運(yùn)算，不變子空間的定義及相關(guān)結(jié)論，線性變換的特征值與特征向量的定義與性質(zhì)，矩陣對(duì)角化.

6. 歐氏空間

內(nèi)積，度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交化和正交子空間，正交變換，對(duì)稱變換

7. 二次型

二次型，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，正定二次型及半正定等充要條件.

8. 線性方程組

Gauss消元法、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)及求解方法.

9. 行列式

逆序，行列式性質(zhì)與計(jì)算，Crame法則.

10. 相似標(biāo)準(zhǔn)形

特征值與特征向量的計(jì)算，對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算，特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式，矩陣對(duì)角化的條件，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，λ-矩陣，初等因子，不變因子

五、教材與參考書

教材

1. 申亞男、李為東編著，《高等代數(shù)》，機(jī)械工業(yè)出版社，2015年9月第1版

2.北京大學(xué)幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社1991，第3版

參考書

3. 許以超編，《線性代數(shù)與矩陣論》，高等教育出版社，1992年，第1版

4. 屠伯塤, 徐誠浩, 王芬編，《高等代數(shù)》，上海科技出版社，1987年，第1版

5. 丘維聲編，《高等代數(shù)》，高等教育出版社，1996年，第1版