東北林業(yè)大學(xué)

考試要求

掌握基本的代數(shù)運(yùn)算方法，包括：一元多項式運(yùn)算(帶余除法，輾轉(zhuǎn)相除法，綜合除法等)，行列式的計算，矩陣運(yùn)算(乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量、分塊矩陣等)，線性方程組解的判定及求解等;

掌握基本的代數(shù)分析技巧，包括：一元多項式的整除性及因式分解，向量的線性相關(guān)和線性無關(guān)性，向量空間的基與維數(shù)，向量空間的同構(gòu)，線性方程組解的結(jié)構(gòu), 線性變換和矩陣的關(guān)系，線性變換(方陣)可對角化的判定,對稱矩陣與二次型;

掌握代數(shù)的基本幾何背景，理解代數(shù)與幾何的關(guān)系，包括：歐氏空間，正交變換與正交矩陣, 對稱變換與對稱矩陣, 主軸定理, 利用二次型理論化簡二次曲面方程。

考試內(nèi)容范圍:

一元多項式

1. 一元多項式的定義和基本運(yùn)算;

2. 多項式的帶余除法與綜合除法，多項式整除性的常用性質(zhì);

3. 多項式的最大公因式概念及性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法;

4. 不可約多項式的概念及性質(zhì)，多項式的唯一因式分解定理，多項式的重因式;

5. 多項式函數(shù)與多項式的根的概念及性質(zhì);

6. 代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多項式的因式分解定理;

7. 整系數(shù)多項式的有理根，Eisenstein判別法。

行列式

1. 線性方程組和行列式的關(guān)系，逆序數(shù)、排列、n階行列式定義，子式和代數(shù)余子式定義;

2 利用行列式的性質(zhì)計算行列式

3. 行列式依行依列展開;

4. 克拉默法則。

線性方程組

1. 利用消元法求解線性方程組;

2. 矩陣的秩的概念，用矩陣的初等變換求秩;

3. 線性方程組可解的判別法;

矩陣

1. 矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算法則;

2. 逆矩陣概念，矩陣可逆的判定條件及可逆矩陣的性質(zhì)，求可逆矩陣的逆矩陣的方法;

3. 矩陣的分塊法，分塊矩陣的運(yùn)算法則。

五、 向量空間

1. 向量空間及子空間的定義;

2. 向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，向量組線性相關(guān)性的判定條件和性質(zhì)，向量組的極大無關(guān)組;

3. 向量空間的基與維數(shù)，過渡矩陣及坐標(biāo)變換公式;

4. 向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì);

5. 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系及計算;

6. 齊次線性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系;線性方程組的結(jié)構(gòu)式通解。

六、 線性變換

1. 線性映射的概念及其相關(guān)性質(zhì)，線性映射與矩陣的關(guān)系;

2. 線性變換的概念及其相關(guān)性質(zhì)，線性變換與矩陣的關(guān)系;

3. 不變子空間及其性質(zhì);

4. 線性變換的本征值和本征向量、方陣的特征值和特征向量;

5. 可以對角化的矩陣。

七、 歐氏空間

1. 向量空間中向量的內(nèi)積、長度、夾角的定義及性質(zhì);

2. 規(guī)范正交基，Schmidt 正交化方法;

3. 正交變換與正交矩陣的定義和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換與鏡面反射變換的定義及性質(zhì);

4. 正交補(bǔ)空間的定義及性質(zhì)，正射影的定義及計算;

5. 對稱變換的定義和性質(zhì)，實對稱矩陣的性質(zhì)，實對稱矩陣的正交相似對角化。

八、 二次型

1. 二次型與對稱矩陣，矩陣的合同關(guān)系;

2. 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型，慣性定理;

3. 利用配方法、初等變換、正交變換方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型;

4. 正定二次型與正定矩陣的定義及性質(zhì)，實對稱矩陣正定的判定條件;

5. 半正定二次型與半正定矩陣的定義及性質(zhì)，實對稱矩陣半正定的判定條件;。

參考書目：

1. 張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》(第五版)，高等教育出版社，2007年

2. 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組，《高等代數(shù)》(第四版)，高等教育出版社，2013年

3. 李師正，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年

4. 楊子胥，《高等代數(shù)習(xí)題解(上下冊)》，山東科學(xué)技術(shù)出版社，2015年