長(zhǎng)春理工大學(xué)

長(zhǎng)春理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究生入學(xué)加試

《復(fù)變函數(shù)》考試大綱

一、總體要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，掌握復(fù)變函數(shù)的積分理論，級(jí)數(shù)理論，留數(shù)理論，保形映射和解析函數(shù)的理論，并了解調(diào)和函數(shù)的概念。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;應(yīng)具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力;能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明。

二、教材

《復(fù)變函數(shù)(第五版)》，余家榮，高等教育出版社

三、考試內(nèi)容

(一)復(fù)數(shù)及復(fù)平面

(1)理解復(fù)數(shù)的定義，熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表達(dá)，四則運(yùn)算及共軛的求法; 熟練掌握復(fù)數(shù)與平面上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)平面在幾何中的應(yīng)用，復(fù)平面與平面向量的關(guān)系;熟練掌握復(fù)數(shù)的模，輻角，三角表達(dá)式的定義和求法;掌握復(fù)數(shù)的球面表示，復(fù)球面及無(wú)窮大。

(2) 理解內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、圓盤、連通性、開集、閉集等概念，曲線、區(qū)域的概念，理解Jordan曲線定理。

(二)復(fù)變函數(shù)

(1)深入理解復(fù)變函數(shù)的定義，掌握復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)與其實(shí)、虛部這一對(duì)二元函數(shù)的極限連續(xù)性的等價(jià)性;理解并掌握解析函數(shù)的概念;熟練掌握Cauchy—Riemann條件，能夠用這個(gè)條件判定函數(shù)的解析性。

(2) 理解多值函數(shù)的概念、分支、分支點(diǎn)的概念，熟練掌握基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)，輻角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)的定義、性質(zhì)。

(三)復(fù)變函數(shù)的積分

(1) 掌握積分的定義、性質(zhì)，會(huì)將光滑曲線上的連續(xù)函數(shù)的積分化成定積分計(jì)算;深入理解和熟練掌握Cauchy定理，理解Cauchy定理的證明;掌握Cauchy定理的推廣，會(huì)用Cauchy定理計(jì)算積分。

(2) 熟練掌握Cauchy公式，能熟練使用Cauchy公式計(jì)算積分;掌握解析函數(shù)的無(wú)窮可微性，Cauchy不等式，Liouville定理，Morera定理，會(huì)使用這些性質(zhì)和理論解決一些具體的問題。

(四)級(jí)數(shù)

(1)掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義及其收斂條件，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性定義與判定法，內(nèi)閉一致收斂的定義，判定法和性質(zhì);掌握冪級(jí)數(shù)的收斂的定義，判定法，和函數(shù)的性質(zhì)。

(2) 掌握函數(shù)能展開成Taylor展式的理論依據(jù)和方法，能熟練地將解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù);掌握解析函數(shù)冪級(jí)數(shù)展式的唯一性;深入理解并掌握零點(diǎn)的概念，掌握零點(diǎn)的孤立性;掌握解析函數(shù)的唯一性定理。

(3) 理解和掌握解析函數(shù)的Laurent展式的概念;掌握解析函數(shù)的Laurent展式的唯一性;能熟練地將解析函數(shù)展開成Laurent展式;理解和掌握解析函數(shù)三類孤立奇點(diǎn)的定義，判定方法;掌握解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)性質(zhì);理解整函數(shù)和亞純函數(shù)的定義，掌握整函數(shù)和亞純函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

(五) 留數(shù)

(1)掌握留數(shù)定理，能熟練計(jì)算函數(shù)的留數(shù)。

(2) 熟練掌握利用留數(shù)求積分的方法;掌握亞純函數(shù)在一定區(qū)域內(nèi)零點(diǎn)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，理解Rouche定理，會(huì)用Rouche定理確定某些方程在一定區(qū)域內(nèi)根的個(gè)數(shù)。

(六)保形映射

(1)深入理解和掌握單葉解析函數(shù)的概念;熟練掌握單葉解析函數(shù)各個(gè)性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)解決一些具體問題;掌握保形映射的概念;掌握單葉解析函數(shù)的幾何意義。

(2)理解和掌握分式線性函數(shù)的定義;熟練掌握分式線性函數(shù)的幾條映射性質(zhì)，理解并熟練掌握兩個(gè)特殊的分式線性函數(shù)。

(3)掌握最大模原理，Schwatz引理;理解Riemann映射定理，邊界對(duì)應(yīng)原理;熟練掌握將某些區(qū)域保形映射成所要求的區(qū)域的方法。

(七) 解析函數(shù)

(1) 理解和掌握對(duì)稱原理及其推廣的形式，會(huì)應(yīng)用對(duì)稱原理和推廣的對(duì)稱原理; 掌握用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行解析開拓的方法;了解一般解析函數(shù)，Riemann面的概念和實(shí)例;了解沿曲線的解析開拓問題。

(2) 掌握多角形映射基本公式，會(huì)用多角形映射基本公式解決具體的問題。

(八)調(diào)和函數(shù)

(1)理解和掌握調(diào)和函數(shù)的概念; 掌握調(diào)和函數(shù)的中值定理和中值公式，Poisson公式，以及調(diào)和函數(shù)的極值原理。