華南農(nóng)業(yè)大學(xué)

從華南農(nóng)業(yè)大學(xué)研究生院獲悉，2019年華南農(nóng)業(yè)大學(xué)848數(shù)學(xué)分析考試大綱及參考書目公布，內(nèi)容如下：

一、考試性質(zhì)

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)碩士研究生入學(xué)數(shù)學(xué)分析考試是為招收理學(xué)類碩士研究生而設(shè)置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，包括對(duì)數(shù)學(xué)分析各項(xiàng)內(nèi)容的掌握程度和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題的能力。考試對(duì)象為參加全國碩士研究生入學(xué)考試、報(bào)考數(shù)學(xué)專業(yè)的考生。

二、考試方式和考試時(shí)間

數(shù)學(xué)分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 3 小時(shí)。

三、試卷結(jié)構(gòu)

1、填空、選擇題：占總分的 50 分左右，內(nèi)容為概念和基本計(jì)算，主要覆蓋本門課程的各部分知識(shí)點(diǎn)。

2、計(jì)算或解答題：占總分的 70 分左右，主要為各部分的重要計(jì)算題、應(yīng)用題 。

3、證明題：占總分的 30 分左右。

四、考試內(nèi)容和考試要求

（一） 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：

實(shí)數(shù)性質(zhì) 確界原理 函數(shù)概念及其性質(zhì) 數(shù)列極限概念及性質(zhì) 數(shù)列極限存在的條件考試要求：

1.了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì)

2.掌握幾種主要不等式及應(yīng)用。

3.熟練掌握領(lǐng)域，上確界，下確界，確界原理。

4.牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等涵數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

（二）數(shù)列極限

考試內(nèi)容：數(shù)列極限的定義 收斂數(shù)列的若干性質(zhì) 數(shù)列收斂的條件

考試要求：

1．熟練掌握數(shù)列極限的定義。

2．掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)（惟一性、保序性等）。

3．掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。

（三）函數(shù)極限

考試內(nèi)容：函數(shù)極限的概念及性質(zhì) 函數(shù)極限的條件 兩個(gè)重要極限 無窮小量與無窮大量

考試要求：

熟練掌握使用“ε-δ”語言，敘述各類型函數(shù)極限。

1.掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)。

2.掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界）。

3.熟練應(yīng)用兩個(gè)特殊極限求函數(shù)的極限。

4.牢固掌握無窮�。ù螅┑亩�義、性質(zhì)、階的比較。

（四）函數(shù)連續(xù)性

考試內(nèi)容：連續(xù)性的定義 間斷點(diǎn)定義及分類 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一致連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性

1.熟練掌握在 X0 點(diǎn)連續(xù)的定義及其等價(jià)定義。

2.掌握間斷點(diǎn)定以及分類。

3.了解在區(qū)間上連續(xù)的定義，能使用左右極限的方法求極限。

4.掌握在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)。

5.了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五） 導(dǎo)數(shù)與微分

考試內(nèi)容：

導(dǎo)數(shù)的概念 幾何意義 求導(dǎo)法則 含參變量的導(dǎo)數(shù) 高價(jià)導(dǎo)數(shù) 微分的定義、運(yùn)算法則及應(yīng)用

考試要求：

1.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義。

2.牢固記住求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式。

3.會(huì)求各類的導(dǎo)數(shù)（復(fù)合、參量、隱函數(shù)、冪指函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茲公式））。

4.掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算。

5.深刻理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微之關(guān)系。

（六） 微分中值定理及其運(yùn)用

考試內(nèi)容：

羅爾定理 拉格朗日定理 單調(diào)函數(shù) 柯西中值定理 不定式極限 泰勒中值定理 函數(shù)的極值和最值 函數(shù)的凸凹性 拐點(diǎn) 漸進(jìn)線 近似解

考試要求：

1.牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）。

2.會(huì)用洛比達(dá)法則求極限，（掌握如何將其他類型的不定型轉(zhuǎn)化為 0/0 型）。

3.掌握單調(diào)與符號(hào)的關(guān)系，并用它證明 f(x)單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等。

4.利用判定凹凸性及拐點(diǎn)。

5.了解凸函數(shù)及性質(zhì)

6.會(huì)求曲線各種類型的漸近線性。

7.了解方程近似解的牛頓切線法。

（七）實(shí)數(shù)的完備性

考試內(nèi)容：

實(shí)數(shù)完備性基本定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明 上極限和下極限考試要求：

1.掌握下列基本概念：區(qū)間套、柯西列、聚點(diǎn)、予列。

2.了解刻劃實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)定理的等階性，并掌握各定理的條件與結(jié)論。

3.學(xué)會(huì)用上述定理證明其他問題，如連續(xù)函數(shù)性質(zhì)定理等。

（八） 不定積分

考試內(nèi)容：

原函數(shù)與不定積分 換元積分法 分部積分法 有理函數(shù)積分 可化為有理函數(shù)的積分考試要求：

1.掌握原函數(shù)與不定積分的概念。

2.記住基本積分公式。

3.熟練掌握換元法、分部積分法。

4.了解有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。

（九）定積分

考試內(nèi)容：

定積分的概念 牛頓-萊布尼茲公式 可積條件 定積分的性質(zhì) 微積分基本定理 定積分的計(jì)算 變限積分 換元積分法 分部積分法 可積充要條件

考試要求：

1.掌握定積分定義、性質(zhì)。

2.了解可積條件，可積類。

3.深刻理解微積分基本定理，并會(huì)熟練應(yīng)用。

4.熟練計(jì)算定積分。

（十）定積分應(yīng)用

考試內(nèi)容：

平面圖形的面積、平面曲線的弧長；已知平行截面面積的立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積 微元法 積分在物理中的某些應(yīng)用 定積分的近似計(jì)算。

考試要求：

1.熟練計(jì)算各種平面圖形面積。

2.會(huì)求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。

3.會(huì)利用定積分求孤長、曲率、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

4.會(huì)用微元法求解某些物理問題（壓力、變力功、靜力矩、重心等）。

（十一）反常積分

考試內(nèi)容：

反常積分（無窮積分、暇積分）的定義及性質(zhì) 收斂判別法考試要求：

1.理解兩種類型反常積分的定義、性質(zhì).

2.會(huì)用定義與性質(zhì)計(jì)算兩種反常積分值。

3.掌握兩種反常積分收斂的判斷法：比較判別法、Cauchy 判別法、Abel 判別法和 Dirichlet 判別法來判別積分收斂。

4.能用比較判別法、Cauchy 判別法、Cauchy 收斂原理判別反常積分的斂散性。

5.掌握兩類積分絕對(duì)收斂和條件收斂概念。

(十二)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的定義、性質(zhì) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂、散判別法 條件、絕對(duì)收斂 萊布尼茲定理考試要求：

1.理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和數(shù)列極限的關(guān)系，會(huì)用“ -N”語言表述級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散。

2.掌握 Cauchy 收斂原理，能用 Cauchy 原理證明級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散，熟練掌握級(jí)數(shù)的必要條件。

3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的比較原則，Cauchy 判別法，達(dá)朗貝爾判別法，Cauchy 積分判別法。

4.掌握 Leibniz 判別法，Abel 判別法和 Dirichlet 判別法，判斷級(jí)數(shù)的條件收斂。

5.理解級(jí)數(shù)收斂、絕對(duì)收斂、條件收斂之間的關(guān)系，了解絕對(duì)收斂和條件收斂級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)，

會(huì)對(duì)含有一個(gè)參數(shù)的級(jí)數(shù)確定其絕對(duì)收斂域和條件收斂域。

(十三) 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：

函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的定義 一致收斂性判別的柯西準(zhǔn)則 魏爾斯特拉斯判別法 一致收斂函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性的判別 可積性的判別 可微性的判別

考試要求：

1.能用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列收斂域。

2.理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂和非一致收斂。

3.掌握 Cauchy 收斂原理，并能應(yīng)用于判別一致收斂與非一致收斂。

4.掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。

5.利用一致收斂性證明極限函數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可微性與可積性。反過來，從和函數(shù)或極限函

數(shù)的分析性質(zhì)研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或函數(shù)列的一致收斂性（Dini 定理）。

（十四）冪級(jí)數(shù)

教學(xué)內(nèi)容:

冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂區(qū)間、收斂域的定義與求法 泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)展開式的定義 五種基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

考試要求：

1.熟練冪級(jí)數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。

2.了解冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。

3.了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數(shù)的馬克勞林展式。

4.會(huì)利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。

(十五) 付里葉級(jí)數(shù)

教學(xué)內(nèi)容:

三角級(jí)數(shù) 正交函數(shù)系 傅里葉級(jí)數(shù)定義 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理 對(duì)以 2l 為周期的函數(shù)作傅葉級(jí)數(shù)展開的基本方法 偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開 正弦級(jí)數(shù) 余弦級(jí)數(shù) 貝塞爾不等式 黎曼勒貝格定理 收斂定理

考試要求：

1.熟記付里葉系數(shù)公式，并會(huì)求之。

2.掌握以 2π為周期函數(shù)的付里葉展式。

3.理解掌握定義在（0,1）上的函數(shù)可以展成余弦級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)，一般付里葉級(jí)數(shù)。

4.了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

考試內(nèi)容:

平面點(diǎn)集概念（鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、開集、閉集、開域、閉域） 平面點(diǎn)集的基本定理二元函數(shù)概念 二重極限 累次極限 二元函數(shù)的連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

考試要求：

1.了解平面點(diǎn)集的若干概念。

2.掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。

3.掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。

4.掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質(zhì)。

5.了解二元函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量全體連續(xù)與分別連續(xù)的關(guān)系。

（十七）多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：

偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義 全微分概念 全微分的幾何意義 全微分存在的充分條件 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分 一階微分形式不變性 方向?qū)��?shù)與梯度 混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無關(guān)性 高階導(dǎo)數(shù) 高階微分 二元函數(shù)的泰勒定理 極值問題

考試要求：

1.熟練掌握，可微，偏導(dǎo)的意義。

2.掌握二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，概念之間關(guān)系。

3.會(huì)計(jì)算各種類型的偏導(dǎo)，全微分。

4.會(huì)求空間曲面的切平面，法線,空間曲線的法平面與切線。

5.會(huì)求函數(shù)的方向?qū)��?shù)與梯度。

6.會(huì)求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

考試內(nèi)容：

隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 隱函數(shù)求導(dǎo) 隱函數(shù)組概念、隱函數(shù)組定理、隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法

考試要求：

1.理解隱函數(shù)定理的有關(guān)概念，及隱函數(shù)存在的條。

2.了解隱函數(shù)組，反函數(shù)組的有關(guān)概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件。

3.掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應(yīng)用，會(huì)把實(shí)際問題抽象為條件極值并予以解決。

（十九） 含參量積分

考試內(nèi)容：

含參變量積分連續(xù)性、可微性和可積性的條件 含參量廣義積分及一致收斂概念 M－判別法、Dirichlet 判別法、Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性 含參量廣義積分連續(xù)性、可微性、可積性 Euler 積分的定義、性質(zhì)

考試要求：

1.理解含參變量常見積分作為參量的函數(shù)，掌握它的連續(xù)性、可微性和可積性的條件，并能應(yīng)用這些條件討論一些含參量常見積分的有關(guān)性質(zhì)

2.理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會(huì)從定義或 Cauchy 收斂原理出發(fā)證明積分的一致收斂性或非一致收斂性

3.掌握和利用 M－判別法、Dirichlet 判別法、Abel 判別法，判別一些常見積分的一致收斂性；

4.掌握含參量廣義積分的分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性、可積性；

5.了解 Euler 積分的定義、性質(zhì)、遞推公式及它們之間的關(guān)系，并用于計(jì)算積分。

（二十）曲線積分

考試內(nèi)容：

第一型曲線積分的定義及計(jì)算 第二型曲線積分的定義及計(jì)算 兩類曲線積分的關(guān)系考試要求：

1.掌握第一型曲線積分的定義、第一型曲線積分的計(jì)算、第二型曲線積分的定義、第二型曲線積分的計(jì)算。

2.了解第一型曲線積分的意義、第二型曲線積分的意義，掌握兩類曲線積分的關(guān)系。

（二十一 ）重積分

考試內(nèi)容：

二重積分定義與存在性 二重積分性質(zhì) 二重積分計(jì)算（化為累次積分） 二重積分的換元法（極坐標(biāo)與一般變換）格林公式 三重積分定義與計(jì)算 三重積分的換元法（柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換）重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）

考試要求：

1.掌握將重積分化為累次積分的計(jì)算方法，并會(huì)交換積分順序.

2.掌握二重積分的極坐標(biāo)變換，三重積分的柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)變化，掌握一些簡單的一般變換，

以達(dá)到簡化重積分計(jì)算的目的

3.能正確地使用對(duì)稱性；正確地處理被積函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)及一般分段函數(shù)的重積分計(jì)算。

4.能用重積分計(jì)算平面圖形的面積，空間立體的體積、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。

5.掌握格林公式。

（二十二） 曲面積分

考試內(nèi)容：

第一型曲面積分的概念、幾何意義、計(jì)算方法 第一型曲面積分的概念、幾何意義、計(jì)算方法 第二型曲面積分的定義、物理意義、計(jì)算 兩類曲面積分的聯(lián)系 Gauss 公式 Stokes 公式

考試要求：

1.掌握第一型曲面積分的概念、幾何意義和計(jì)算

2.理解曲面的側(cè)，熟練掌握第二型曲面積分的定義、物理意義和計(jì)算，了解兩類曲面積分的聯(lián)系

3.掌握 Gauss 公式與 Stokes 公式