牡丹江師范學(xué)院

科目代碼、名稱:809高等代數(shù)

專業(yè)類別：■學(xué)術(shù)型 □專業(yè)學(xué)位

適用專業(yè): 070104應(yīng)用數(shù)學(xué) 0701Z1數(shù)學(xué)教育

一、考試要求

高等代數(shù)是我校數(shù)學(xué)學(xué)科研究生入學(xué)考試初試考試科目。通過考試測試考生的高等代數(shù)理論知識基礎(chǔ)和應(yīng)用相關(guān)知識解決問題的能力，以保證所錄取的考生具有較好的代數(shù)基礎(chǔ)素養(yǎng)。

第一章 多項(xiàng)式

1.理解數(shù)域的基本概念;會(huì)判別某集合對于給定運(yùn)算是否構(gòu)成數(shù)域;

2.掌握一元多項(xiàng)式的基本概念與性質(zhì);

3.掌握一元多項(xiàng)式整除的定義，性質(zhì)及帶余除法。

4.掌握一元多項(xiàng)式最大公因式的定義，性質(zhì)，輾轉(zhuǎn)相除法，及多項(xiàng)式互素的定義和性質(zhì)，會(huì)判別多項(xiàng)式互素;

5.掌握一般數(shù)域上一元多項(xiàng)式的因式分解理論，會(huì)求解在有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域及復(fù)數(shù)域上的因式分解問題;

6.掌握一元多項(xiàng)式的重根，重因式及不可約多項(xiàng)式的相關(guān)定義與性質(zhì)，熟練掌握余數(shù)定理，并會(huì)用其求多項(xiàng)式的根。

7.理解高斯引理，熟練掌握多項(xiàng)式有有理根的判別法，會(huì)Eisenstein判別法判別多項(xiàng)式是不可約的。

第二章 行列式

1.理解n級行列式的定義，掌握行列式的基本性質(zhì)，會(huì)求行列式的值;

2.理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換的定義;

3. 熟練掌握行列式按一行(列)展開的公式、克萊姆(Cramer)法則、拉普拉斯(Laplace)定理。

第三章 線性方程組

1.理解消元法的基本理論，掌握n維向量空間、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩等基本概念與基本理論;

2. 學(xué)會(huì)判斷線性方程組是否有解、有解時(shí)有多少解、并會(huì)求線性方程組的通解;

3. 熟練掌握線性方程組解的存在性條件與解的結(jié)構(gòu)。

第四章 矩陣

1.理解矩陣的定義及矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置及其運(yùn)算規(guī)律，并能熟練地應(yīng)用;

2.掌握矩陣乘積的行列式與秩的相關(guān)性質(zhì)定理;

3.掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判定，會(huì)求可逆矩陣的逆矩陣;

4.理解分塊矩陣的定義，計(jì)算法則及運(yùn)算規(guī)律，掌握分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用。

第五章 二次型

1.理解二次型的概念及二次型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，及矩陣合同的定義;

2.掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法;

3.掌握復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形及唯一性定理，會(huì)化二次型為規(guī)范形，掌握慣性定理。

4.理解正定二次型與正定矩陣的概念和判別法。

第六章 線性空間

1.理解線性空間的概念及有關(guān)定義：包括線性相關(guān)、線性無關(guān)、維數(shù)、基、坐標(biāo)、子空間、子空間的交與和、子空間的直和、余子空間等;

2.掌握線性空間的簡單性質(zhì)及基變換和坐標(biāo)變換公式;

3.掌握子空間的判別法，理解生成子空間的概念并掌握生成子空間的集合形式;

4.掌握維數(shù)公式及其證明方法并能靈活應(yīng)用;掌握常用的幾個(gè)子空間直和的判別法;

5.理解線性空間的同構(gòu)映射和線性空間同構(gòu)的概念，掌握同構(gòu)映射的基本性質(zhì)。

第七章 線性變換

1.理解線性變換的概念，掌握線性變換的基本性質(zhì)及運(yùn)算;

2.會(huì)求線性變換在一組基下的矩陣，掌握矩陣相似定義及性質(zhì)。

3.理解線性變換的特征值與特征向量的概念和n階方陣的特征多項(xiàng)式，特征值與特征向量的概念，會(huì)求有限維線性空間中線性變換的特征值、特征向量;

4.掌握n維線性空間的一個(gè)線性變換可對角化的一些充分條件與充要條件，在滿足可對角化時(shí)能將矩陣化成對角形;

5.理解線性變換的值域、核、秩和零度等概念及相關(guān)定理，掌握不變子空間的定義;

6. 理解矩陣的最小多項(xiàng)式的定義和性質(zhì)，會(huì)求矩陣的最小多項(xiàng)式。

第八章

–矩陣

1. 理解-矩陣的定義及其性質(zhì)、-矩陣的初等變換、-矩陣的初等矩陣、-矩陣等價(jià)以及-矩陣在初等變換的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念;

2.理解-矩陣的行列式因子、不變因子等基本概念，熟練掌握-矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系，掌握-矩陣等價(jià)的條件;

3.掌握數(shù)字矩陣的初等因子和線性變換的初等因子的基本概念，掌握矩陣的初等因子與矩陣的不變因子、行列式因子之間的關(guān)系，以及數(shù)字矩陣之間相似的充要條件;

4.理解若爾當(dāng)型矩陣的定義，及矩陣相似于若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的理論、會(huì)求矩陣相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

第九章 歐幾里得空間

1. 理解內(nèi)積及歐氏空間的概念及向量長度和兩個(gè)向量的夾角的概念;

2.理解n維歐氏空間中基的度量矩陣及由此而確定的歐氏空間的內(nèi)積，掌握度量矩陣的性質(zhì)與不同基的度量矩陣之間的關(guān)系;

3.理解正交組、標(biāo)準(zhǔn)正交組、正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基等概念，切實(shí)掌握施密特(Schimidt)正交化方法;

4.掌握歐氏空間同構(gòu)和正交變換的概念及正交變換的幾個(gè)等價(jià)刻畫，掌握正交矩陣的定義及性質(zhì)，理解子空間正交與正交補(bǔ)的概念，

6.理解對稱變換的概念;切實(shí)掌握求正交陣，使實(shí)對稱矩陣正交相似于對角陣的方法;掌握用正交線性替換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

二、考試內(nèi)容

參考書目：《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系主編，第四版，高等教育出版社，北京，2013.

注：本文中“章”、“節(jié)”均指以上參考書目中的“章”、“節(jié)”

1) 多項(xiàng)式(第一章1-9節(jié))

2) 行列式(第二章1-8節(jié))

3) 線性方程組(第三章1-6節(jié))

4) 矩陣(第四章1-7節(jié))

5) 二次型(第五章1-4節(jié))

6) 線性空間(第六章1-8節(jié))

7) 線性變換(第七章1-9節(jié))

8) -矩陣(第八章1-6節(jié))

9) 歐幾里得空間(第九章1-6節(jié))

三、試卷結(jié)構(gòu)(包括考試時(shí)間、總分、考試方式、題型、分?jǐn)?shù)比例等)

考試時(shí)間：180分鐘

總 分：150分

考試方式：筆試，閉卷

題 型：(1)選擇題或填空題40分;(2)解答題(計(jì)算題和簡答題)60分 ;(3)證明題50分

四、學(xué)院審核意見

主管領(lǐng)導(dǎo)簽字： 單位公章：

注：“總分”按照各自命題科目分值具體情況添寫。